Как понять через какой фокус проходит луч. Тонкие линзы

Темы кодификатора ЕГЭ: линзы, оптическая сила линзы

Взгляните ещё раз на рисунки линз из предыдущего листка: эти линзы обладают заметной толщиной и существенной кривизной своих сферических границ. Мы намеренно рисовали такие линзы - чтобы основные закономерности хода световых лучей проявились как можно более чётко.

Понятие тонкой линзы.

Теперь, когда эти закономерности достаточно ясны, мы рассмотрим очень полезную идеализацию, которая называется тонкой линзой .
В качестве примера на рис. 1 приведена двояковыпуклая линза; точки и являются центрами её сферических поверхностей, и - радиусы кривизны этих поверхностей. - главная оптическая ось линзы.

Так вот, линза считается тонкой, если её толщина очень мала. Нужно, правда, уточнить: мала по сравнению с чем?

Во-первых, предполагается, что и . Тогда поверхности линзы хоть и будут выпуклыми, но могут восприниматься как "почти плоские". Этот факт нам очень скоро пригодится.
Во-вторых, , где - характерное расстояние от линзы до интересующего нас предмета. Собственно, лишь в таком случае мы и
сможем корректно говорить о "расстоянии от предмета до линзы", не уточняя, до какой именно точки линзы берётся это самое расстояние.

Мы дали определение тонкой линзы, имея в виду двояковыпуклую линзу на рис. 1 . Это определение без каких-либо изменений переносится на все остальные виды линз. Итак: линза является тонкой , если толщина линзы много меньше радиусов кривизны её сферических границ и расстояния от линзы до предмета.

Условное обозначение тонкой собирающей линзы показано на рис. 2 .

Условное обозначение тонкой рассеивающей линзы показано на рис. 3 .

В каждом случае прямая - это главная оптическая ось линзы, а сами точки - её
фокусы. Оба фокуса тонкой линзы расположены симметрично относительно линзы.

Оптический центр и фокальная плоскость.

Точки и , обозначенные на рис. 1 , у тонкой линзы фактически сливаются в одну точку. Это точка на рис. 2 и 3 , называемая оптическим центром линзы. Оптический центр находится на Пересечении линзы с её главной оптической осью.

Расстояние от оптического центра до фокуса называется фокусным расстоянием линзы. Мы будем обозначать фокусное расстояние буквой . Величина , обратная фокусному расстоянию, есть оптическая сила - линзы:

Оптическая сила измеряется в диоптриях (дптр). Так, если фокусное расстояние линзы равно 25 см, то её оптическая сила:

Продолжаем вводить новые понятия. Всякая прямая, проходящая через оптический центр линзы и отличная от главной оптической оси, называется побочной оптической осью . На рис. 4 изображена побочная оптическая ось - прямая .

Плоскость , проходящая через фокус перпендикулярно главной оптической оси, называется фокальной плоскостью . Фокальная плоскость, таким образом, параллельна плоскости линзы. Имея два фокуса, линза соответственно имеет и две фокальных плоскости, расположенных симметрично относительно линзы.

Точка , в которой побочная оптическая ось пересекает фокальную плоскость, называется побочным фокусом. Собственно, каждая точка фокальной плоскости (кроме ) есть побочный фокус - мы ведь всегда сможем провести побочную оптическую ось, соединив данную точку с оптическим центром линзы. А сама точка - фокус линзы - в связи с этим называется ещё главным фокусом.

То, что на рис. 4 изображена собирающая линза, никакой роли не играет. Понятия побочной оптической оси, фокальной плоскости и побочного фокуса совершенно аналогично определяются и для рассеивающей линзы - с заменой на рис. 4 собирающей линзы на рассеивающую.

Теперь мы переходим к рассмотрению хода лучей в тонких линзах. Мы будем предполагать, что лучи являются параксиальными , то есть образуют достаточно малые углы с главной оптической осью. Если параксиальные лучи исходят из одной точки, то после прохождения линзы преломлённые лучи или их продолжения также пересекаются в одной точке. Поэтому изображения предметов, даваемые линзой, в параксиальных лучах получаются весьма чёткими.

Ход луча через оптический центр.

Как мы знаем из предыдущего раздела, луч, идущий вдоль главной оптической оси, не преломляется. В случае тонкой линзы оказывается, что луч, идущий вдоль побочной оптической оси, также не преломляется!

Объяснить это можно следующим образом. Вблизи оптического центра обе поверхности линзы неотличимы от параллельных плоскостей, и луч в данном случае идёт как будто через плоскопараллельную стеклянную пластинку (рис. 5 ).

Угол преломления луча равен углу падения преломлённого луча на вторую поверхность. Поэтому второй преломлённый луч выходит из плоскопараллельной пластинки параллельно падающему лучу . Плоскопараллельная пластинка лишь смещает луч, не изменяя его направления, и это смещение тем меньше, чем меньше толщина пластинки.

Но для тонкой линзы мы можем считать, что эта толщина равна нулю. Тогда точки фактически сольются в одну точку, и луч окажется просто продолжением луча . Вот поэтому и получается, что луч, идущий вдоль побочной оптической оси, не преломляется тонкой линзой (рис. 6 ).

Это единственное общее свойство собирающих и рассеивающих линз. В остальном ход лучей в них оказывается различным, и дальше нам придётся рассматривать собирающую и рассеивающую линзу по отдельности.

Ход лучей в собирающей линзе.

Как мы помним, собирающая линза называется так потому, что световой пучок, параллельный главной оптической оси, после прохождения линзы собирается в её главном фокусе (рис. 7 ).

Пользуясь обратимостью световых лучей, приходим к следующему выводу: если в главном фокусе собирающей линзы находится точечный источник света, то на выходе из линзы получится световой пучок, параллельный главной оптической оси (рис. 8 ).

Оказывается, что пучок параллельных лучей, падающих на собирающую линзу наклонно , тоже соберётся в фокусе - но в побочном. Этот побочный фокус отвечает тому лучу, который проходит через оптический центр линзы и не преломляется (рис. 9 ).

Теперь мы можем сформулировать правила хода лучей в собирающей линзе . Эти правила вытекают из рисунков 6-9 ,

2. Луч, идущий параллельно главной оптической оси линзы, после преломления пойдёт через главный фокус (рис. 10 ).

3. Если луч падает на линзу наклонно, то для построения его дальнейшего хода мы проводим побочную оптическую ось, параллельную этому лучу, и находим соответствующий побочный фокус. Вот через этот побочный фокус и пойдёт преломлённый луч (рис. 11 ).

В частности, если падающий луч проходит через фокус линзы, то после преломления он пойдёт параллельно главной оптической оси.

Ход лучей в рассеивающей линзе.

Переходим к рассеивающей линзе. Она преобразует пучок света, параллельный главной оптической оси, в расходящийся пучок, как бы выходящий из главного фокуса (рис. 12 )

Наблюдая этот расходящийся пучок, мы увидим светящуюся точку, расположенную в фокусе позади линзы.

Если параллельный пучок падает на линзу наклонно, то после преломления он также станет расходящимся. Продолжения лучей расходящегося пучка соберутся в побочном фокусе , отвечающем тому лучу, который проходит через через оптический центр линзы и не преломляется (рис. 13 ).

Этот расходящийся пучок создаст у нас иллюзию светящейся точки, расположенной в побочном фокусе за линзой.

Теперь мы готовы сформулировать правила хода лучей в рассеивающей линзе . Эти правила следуют из рисунков 6, 12 и 13 .

1. Луч, идущий через оптический центр линзы, не преломляется.
2. Луч, идущий параллельно главной оптической оси линзы, после преломления начнёт удаляться от главной оптической оси; при этом продолжение преломлённого луча пройдёт через главный фокус (рис. 14 ).

3. Если луч падает на линзу наклонно, то мы проводим побочную оптическую ось, параллельную этому лучу, и находим соответствующий побочный фокус. Преломлённый луч пойдёт так, словно он исходит из этого побочного фокуса (рис. 15 ).

Пользуясь правилами хода лучей 1–3 для собирающей и рассеивающей линзы, мы теперь научимся самому главному - строить изображения предметов, даваемые линзами.

11.2. Геометрическая оптика

11.2.2. Отражение и преломление световых лучей в зеркале, плоскопараллельной пластинке и призме

Формирование изображения в плоском зеркале и его свойства

Законы отражения, преломления и прямолинейного распространения света используются при построении изображений в зеркалах, рассмотрении хода световых лучей в плоскопараллельной пластинке, призме и линзах.

Ход световых лучей в плоском зеркале показан на рис. 11.10.

Изображение в плоском зеркале формируется за плоскостью зеркала на том же расстоянии от зеркала f , на каком находится предмет перед зеркалом d :

f = d .

Изображение в плоском зеркале является:

прямым;
мнимым;
равным по величине предмету: h = H .

Если плоские зеркала образуют между собой некоторый угол, то они формируют N изображений источника света, помещенного на биссектрису угла между зеркалами (рис. 11.11):

N = 2 π γ − 1 ,

где γ - угол между зеркалами (в радианах).

Примечание. Формула справедлива для таких углов γ, для которых отношение 2π/γ является целым числом.

Например, на рис. 11.11 показан источник света S , лежащий на биссектрисе угла π/3. Согласно приведенной выше формуле формируются пять изображений:

1) изображение S 1 формируется зеркалом 1;

2) изображение S 2 формируется зеркалом 2;

Рис. 11.11

3) изображение S 3 является отражением S 1 в зеркале 2;

4) изображение S 4 является отражением S 2 в зеркале 1;

5) изображение S 5 является отражением S 3 в продолжении зеркала 1 или отражением S 4 в продолжении зеркала 2 (отражения в указанных зеркалах совпадают).

Пример 8. Найти число изображений точечного источника света, полученных в двух плоских зеркалах, образующих друг с другом угол 90°. Источник света находится на биссектрисе указанного угла.

Решение . Выполним рисунок, поясняющий условие задачи:

источник света S расположен на биссектрисе угла между зеркалами;
первое (вертикальное) зеркало З1 формирует изображение S 1;
второе (горизонтальное) зеркало З2 формирует изображение S 2;
продолжение первого зеркала формирует изображение мнимого источника S 2, а продолжение второго зеркала - мнимого источника S 1; указанные изображения совпадают и дают S 3.

Число изображений источника света, помещенного на биссектрису угла между зеркалами, определяется формулой

N = 2 π γ − 1 ,

где γ - угол между зеркалами (в радианах), γ = π/2.

Число изображений составляет

N = 2 π π / 2 − 1 = 3 .

Ход светового луча в плоскопараллельной пластинке

Ход светового луча в плоскопараллельной пластинке зависит от оптических свойств среды, в которой находится пластинка.

1. Ход светового луча в плоскопараллельной пластинке, находящейся в оптически однородной среде (по обе стороны от пластинки коэффициент преломления среды одинаков), показан на рис. 11.12.

Световой луч, падающий на плоскопараллельную пластинку под некоторым углом i 1 , после прохождения плоскопараллельной пластинки:

выходит из нее под тем же углом:

i 3 = i 1 ;

смещается на величину x от первоначального направления (пунктир на рис. 11.12).

2. Ход светового луча в плоскопараллельной пластинке, находящейся на границе двух сред (по обе стороны от пластинки коэффициенты преломления сред различны), показан на рис. 11.13 и 11.14.

Рис. 11.13

Рис. 11.14

Световой луч после прохождения плоскопараллельной пластинки выходит из пластинки под углом, отличающимся от угла падения его на пластинку:

если показатель преломления среды за пластинкой меньше показателя преломления среды перед пластинкой (n 3 < n 1), то:

i 3 > i 1 ,

т.е. луч выходит под бо́льшим углом (см. рис. 11.13);

если показатель преломления среды за пластинкой больше показателя преломления среды перед пластинкой (n 3 > n 1), то:

i 3 < i 1 ,

т.е. луч выходит под меньшим углом (см. рис. 11.14).

Смещение луча - длина перпендикуляра между выходящим из пластинки лучом и продолжением луча, падающего на плоскопараллельную пластинку.

Смещение луча при выходе из плоскопараллельной пластинки, находящейся в оптически однородной среде (см. рис. 11.12), рассчитывается по формуле

где d - толщина плоскопараллельной пластинки; i 1 - угол падения луча на плоскопараллельную пластинку; n - относительный показатель преломления материала пластинки (относительно той среды, в которую помещена пластинка), n = n 2 /n 1 ; n 1 - абсолютный показатель преломления среды; n 2 - абсолютный показатель преломления материала пластинки.

Рис. 11.12

Смещение луча при выходе из плоскопараллельной пластинки может быть рассчитано с помощью следующего алгоритма (рис. 11.15):

1) вычисляют x 1 из треугольника ABC , пользуясь законом преломления света:

где n 1 - абсолютный показатель преломления среды, в которую помещена пластинка; n 2 - абсолютный показатель преломления материала пластинки;

2) вычисляют x 2 из треугольника ABD ;

3) рассчитывают их разность:

Δx = x 2 − x 1 ;

4) смещение находят по формуле

x = Δx cos i 1 .

Время распространения светового луча в плоскопараллельной пластинке (рис. 11.15) определяется формулой

где S - путь, пройденный светом, S = | A C | ; v - скорость распространения светового луча в материале пластинки, v = c /n ; c - скорость света в вакууме, c ≈ 3 ⋅ 10 8 м/с; n - показатель преломления материала пластинки.

Путь, пройденный световым лучом в пластинке, связан с ее толщиной выражением

S = d cos i 2 ,

где d - толщина пластинки; i 2 - угол преломления светового луча в пластинке.

Пример 9. Угол падения светового луча на плоскопараллельную пластинку равен 60°. Пластинка имеет толщину 5,19 см и изготовлена из материала с показателем преломления 1,73. Найти смещение луча при выходе из плоскопараллельной пластинки, если она находится в воздухе.

Решение . Выполним рисунок, на котором покажем ход светового луча в плоскопараллельной пластинке:

световой луч падает на плоскопараллельную пластинку под углом i 1 ;
на границе раздела воздуха и пластинки луч преломляется; угол преломления светового луча равен i 2 ;
на границе раздела пластинки и воздуха луч преломляется еще раз; угол преломления равен i 1 .

Указанная пластинка находится в воздухе, т.е. по обе стороны от пластинки среда (воздух) имеет одинаковый показатель преломления; следовательно, для расчета смещения луча можно применить формулу

x = d sin i 1 (1 − 1 − sin 2 i 1 n 2 − sin 2 i 1) ,

где d - толщина пластинки, d = 5,19 см; n - показатель преломления материала пластинки относительно воздуха, n = 1,73; i 1 - угол падения света на пластинку, i 1 = 60°.

Вычисления дают результат:

x = 5,19 ⋅ 10 − 2 ⋅ 3 2 (1 − 1 − (3 / 2) 2 (1,73) 2 − (3 / 2) 2) = 3,00 ⋅ 10 − 2 м = 3,00 см.

Cмещение луча света при выходе из плоскопараллельной пластинки равно 3 см.

Ход светового луча в призме

Ход светового луча в призме показан на рис. 11.16.

Грани призмы, через которые проходит луч света, называются преломляющими . Угол между преломляющими гранями призмы называется преломляющим углом призмы.

Световой луч после прохождения через призму отклоняется; угол между лучом, выходящим из призмы, и лучом, падающим на призму, называется углом отклонения луча призмой.

Угол отклонения луча призмой φ (см. рис. 11.16) представляет собой угол между продолжениями лучей I и II - на рисунке обозначены пунктиром и символом (I), а также пунктиром и символом (II).

1. Если световой луч падает на преломляющую грань призмы под произвольным углом , то угол отклонения луча призмой определяется формулой

φ = i 1 + i 2 − θ,

где i 1 - угол падения луча на преломляющую грань призмы (угол между лучом и перпендикуляром к преломляющей грани призмы в точке падения луча); i 2 - угол выхода луча из призмы (угол между лучом и перпендикуляром к грани призмы в точке выхода луча); θ - преломляющий угол призмы.

2. Если световой луч падает на преломляющую грань призмы под малым углом (практически перпендикулярно преломляющей грани призмы), то угол отклонения луча призмой определяется формулой

φ = θ(n − 1),

где θ - преломляющий угол призмы; n - относительный показатель преломления материала призмы (относительно той среды, в которую эта призма помещена), n = n 2 /n 1 ; n 1 - показатель преломления среды, n 2 - показатель преломления материала призмы.

Вследствие явления дисперсии (зависимость показателя преломления от частоты светового излучения) призма разлагает белый свет в спектр (рис. 11.17).

Рис. 11.17

Лучи различного цвета (различной частоты или длины волны) отклоняются призмой по-разному. В случае нормальной дисперсии (показатель преломления материала тем выше, чем больше частота светового излучения) призма наиболее сильно отклоняет фиолетовые лучи; наименее - красные.

Пример 10. Стеклянная призма, изготовленная из материала с коэффициентом преломления 1,2, имеет преломляющий угол 46° и находится в воздухе. Луч света падает из воздуха на преломляющую грань призмы под углом 30°. Найти угол отклонения луча призмой.

Решение . Выполним рисунок, на котором покажем ход светового луча в призме:

световой луч падает из воздуха под углом i 1 = 30° на первую преломляющую грань призмы и преломляется под углом i 2 ;
световой луч падает под углом i 3 на вторую преломляющую грань призмы и преломляется под углом i 4 .

Угол отклонения луча призмой определяется формулой

φ = i 1 + i 4 − θ,

где θ - преломляющий угол призмы, θ = 46°.

Для расчета угла отклонения светового луча призмой необходимо вычислить угол выхода луча из призмы.

Воспользуемся законом преломления света для первой преломляющей грани

n 1 sin i 1 = n 2 sin i 2 ,

где n 1 - показатель преломления воздуха, n 1 = 1; n 2 - показатель преломления материала призмы, n 2 = 1,2.

Рассчитаем угол преломления i 2:

i 2 = arcsin (n 1 sin i 1 /n 2) = arcsin(sin 30°/1,2) = arcsin(0,4167);

i 2 ≈ 25°.

Из треугольника ABC

α + β + θ = 180°,

где α = 90° − i 2 ; β = 90° − i 3 ; i 3 - угол падения светового луча на вторую преломляющую грань призмы.

Отсюда следует, что

i 3 = θ − i 2 ≈ 46° − 25° = 21°.

Воспользуемся законом преломления света для второй преломляющей грани

n 2 sin i 3 = n 1 sin i 4 ,

где i 4 - угол выхода луча из призмы.

Рассчитаем угол преломления i 4:

i 4 = arcsin (n 2 sin i 3 /n 1) = arcsin(1,2 ⋅ sin 21°/1,0) = arcsin(0,4301);

i 4 ≈ 26°.

Угол отклонения луча призмой составляет

φ = 30° + 26° − 46° = 10°.

Направление движения энергии световой волны определяется вектором Пойнтинга (система единиц СГС Гаусса), здесь - скорость света в вакууме, и - векторные напряженности электрического и магнитного полей. Длина вектора Пойнтинга равна плотности потока энергии, то есть количеству энергии, которое в единицу времени протекает через единичную площадку перпендикулярную вектору . В изотропной среде направление движения поверхности фиксированной фазы совпадает с направлением движения энергии световой волны. В кристалле эти направления могут не совпадать. Далее будем рассматривать изотропную среду.

Световые лучи.

Линии векторного поля , вдоль которых распространяется свет, называются лучами. Если поверхности равных фаз представляют собой параллельные плоскости, то волна называется плоской. Плоской волне соответствует параллельный пучок лучей, так как лучи в изотропной среде перпендикулярны поверхностям равных фаз. Сферической волной называется волна с поверхностями равных фаз сферической формы. Ей соответствует пучок лучей, выходящих из одной точки или собирающихся в одну точку. В этих двух случаях говорят соответственно о расходящейся и о сходящейся сферической волне.

Приближение геометрической оптики.

Если длина световой волны очень мала по сравнению со всеми размерами оптических приборов, то явлениями дифракции и интерференции можно пренебречь. Такое рассмотрение распространения света называется приближением геометрической оптики.

Геометрическая оптика обычно ограничивается рассмотрением распространения света в однородных средах и предметах, состоящих из однородных сред. Распространение света в среде с плавно изменяющимся показателем преломления описывается уравнением эйконала.

Отражение и преломление света.

Если световая волна распространяется в однородной среде без препятствий, то волна распространяется по прямым линиям - лучам. На границе раздела двух однородных сред лучи отражаются и преломляются (рис.1). Отраженный (3) и преломленный (2) лучи находятся в одной плоскости с падающим лучом (1) и перпендикуляром к границе раздела двух сред (). Угол падения равен углу отражения . Угол преломления можно найти из равенства

где и - показатели преломления первой и второй среды.

Отражение от плоского зеркала.

Плоское зеркало, как и сферическое, отражает лучи света в соответствии с законом отражения (угол падения равен углу отражения). Свет после отражения от плоского зеркала во всех смыслах распространяется так, как если бы вместо зеркала стояло окошко, а источник света располагался бы за поверхностью зеркала, за окошком. Интересно, что изображение в зеркале находится не просто в другом месте, оно вывернуто "наизнанку", при этом "правое" и "левое" меняются местами. Например, правая спираль становится левой спиралью.

Преломление света, также как и отражение, можно рассматривать, как "кажущееся" изменение положения источника света. Этот факт проявляется в кажущемся изломе прямой палки, наполовину опущенной в воду под углом к поверхности воды. Мнимое положение источника света в данном случае будет различаться для лучей, падающих на границу раздела двух сред под различными углами. По этой причине обычно избегают говорить о мнимом положении источника света при преломлении.

Призма.

В задачах с призмами поворот света призмой можно рассматривать как два последовательных преломления света на плоских гранях призмы при входе света в призму и при его выходе.

Особый интерес представляет частный случай призмы с малым углом при вершине ( на рис. 2). Такую призму называют тонкой призмой. Обычно рассматриваются задачи, в которых свет падает на тонкую призму почти перпендикулярно ее поверхности. При этом за два преломления лучи света поворачивают на малый угол в плоскости перпендикулярной ребру призмы в сторону утолщения призмы (рис. 2). Угол поворота не зависит от угла падения света в приближении малых углов падения. Это означает, что призма поворачивает "кажущееся" положение источника света на угол в плоскости перпендикулярной ребру призмы.

Из двух таких тонких призм состоит, в частности, бипризма Френеля (рис. 3), проходя через которую свет от точечного источника распространяется далее так, как если бы свет излучался двумя точечными когерентными источниками.

Оптическая ось.

Оптической осью называется прямая линия, проходящая через центры кривизны отражающих и преломляющих поверхностей. Если система имеет оптическую ось, то это центрированная оптическая система .

Линза.

Обычно прохождение света через линзу рассматривается в приближении параксиальной оптики, это означает, что направление распространения света всегда составляет малый угол с оптической осью, и лучи пересекают любую поверхность на малом расстоянии от оптической оси.

Линза может быть собирающей или рассеивающей.

Лучи, параллельные оптической оси, после собирающей линзы проходят через одну и ту же точку. Эта точка называется фокусом линзы. Расстояние от линзы до ее фокуса называется фокусным расстоянием. Плоскость, перпендикулярная оптической оси и проходящая через фокус линзы, называется фокальной плоскостью. Параллельный пучок лучей, наклоненный к оптической оси, собирается за линзой в одну точку ( на рис. 4) в фокальной плоскости линзы.

Рассеивающая линза преобразует параллельный оптической оси пучок лучей в расходящийся пучок (рис. 5). Если расходящиеся лучи продолжить назад, то они пересекутся в одной точке - фокусе рассеивающей линзы. При небольшом повороте пучка параллельных лучей точка пересечения перемещается по фокальной плоскости рассеивающей линзы.

Построение изображений.

В задачах на построение изображений подразумевается, что протяженный источник света состоит из некогерентных точечных источников. В этом случае изображение протяженного источника света состоит из изображений каждой точки источника, полученных независимо друг от друга.

Изображение точечного источника - это точка пересечения всех лучей после прохождения через систему, лучей испущенных точечным источником света. Точечный источник испускает сферическую световую волну. В приближении параксиальной оптики сферическая волна, проходя через линзу (рис. 6), распространяется и далее в виде сферической волны, но с другим значением радиуса кривизны. Лучи за линзой либо сходятся в одну точку (рис. 6а), которую называют действительным изображением источника (точка ), либо расходятся (рис. 6б). В последнем случае продолжения лучей назад пересекаются в некоторой точке , которая называется мнимым изображением источника света.

В параксиальном приближении все лучи, исходящие из одной точки до линзы, после линзы пересекаются в одной точке, поэтому для построения изображения точечного источника достаточно найти точку пересечения "удобных нам" двух лучей, эта точка и будет изображением.

Если перпендикулярно оптической оси поставить лист бумаги (экран) так, чтобы изображение точечного источника попало на экран, то в случае действительного изображения на экране будет видна светящаяся точка, а в случае мнимого изображения - нет.

Построение изображения в тонкой линзе.

Есть три луча, удобных для построения изображения точечного источника света в тонкой линзе.

Первый луч проходит через центр линзы. После линзы он не изменяет своего направления (рис. 7) как для собирающей так и для рассеивающей линзы. Это справедливо только в том случае, если среда с обеих сторон линзы имеет одинаковый показатель преломления . Два других удобных луча рассмотрим на примере собирающей линзы. Один из них проходит через передний фокус (рис. 8а), или его продолжение назад проходит через передний фокус (рис. 8б). После линзы такой луч пойдет параллельно оптической оси. Другой луч проходит до линзы параллельно оптической оси, а после линзы через задний фокус (рис. 8в).

Удобные для построения изображения лучи в случае рассеивающей линзы показаны на рис. 9а,9б.

Точка пересечения, мнимого или действительного, любой пары из этих трех лучей, прошедших линзу, совпадает с изображением источника.

В задачах по оптике иногда возникает потребность найти ход луча не для одного из удобных нам трех лучей, а для произвольного луча (1 на рис. 10), направление которого до линзы определено условиями задачи.

В таком случае полезно рассмотреть, например, параллельный ему луч (2 на рис. 10б), проходящий через центр линзы, независимо от того есть или нет такой луч на самом деле.

Параллельные лучи собираются за линзой в фокальной плоскости. Эту точку ( на рис. 10б) можно найти как точку пересечения фокальной плоскости и вспомогательного луча 2, проходящего линзу без изменения направления. Вторая точка, необходимая и достаточная для построения хода луча 1 после линзы, это точка на тонкой линзе ( на рис. 10б), в которую упирается луч 1 с той стороны, где его направление известно.

Построение изображения в толстой линзе.

Тонкая линза - линза, толщина которой много меньше ее фокусного расстояния . Если линзу нельзя считать тонкой, то каждую из двух сферических поверхностей линзы можно рассматривать как отдельную тонкую линзу.

Тогда изображение в толстой линзе можно найти как изображение изображения. Первая сферическая поверхность толстой линзы дает изображение источника как изображение в тонкой линзе. Вторая сферическая поверхность дает изображение этого изображения.

Другой подход при построении изображений состоит в том, что вводится понятие главных плоскостей центрированной оптической системы, частным случаем которой может быть толстая линза. Центрированная оптическая система, которая может состоять и из большого числа линз, полностью характеризуется двумя фокальными и двумя главными плоскостями. Полностью характеризуется в том смысле, что знание положения этих четырех плоскостей достаточно для построения изображений. Все четыре плоскости перпендикулярны оптической оси, следовательно свойства оптической системы полностью определяются четырьмя точками пересечения четырех плоскостей с оптической осью. Эти точки называются кардинальными точками системы.

Для тонкой линзы обе главные плоскости совпадают с положением самой линзы. Для более сложных оптических систем существуют формулы расчета положения кардинальных точек через радиусы кривизны поверхностей линз и показатели их преломления .

Для построения изображения точечного источника достаточно рассмотреть прохождение через оптическую систему двух удобных нам лучей и найти точку их пересечения после линзы, либо точку пересечения продолжений лучей назад (для мнимого изображения).

Построение хода лучей проводится так, как будто между главными плоскостями системы находится тонкая линза, а пространство между главными плоскостями отсутствует. Пример построения приведен на рис. 11. и - главные плоскости системы.

Задача прохождения света через центрированную оптическую систему может быть решена не только геометрическим построением хода лучей, но и аналитически. Для аналитического решения задач удобен матричный метод .

Изображения:

1. Действительные – те изображения, которые мы получаем в результате пересечения лучей, прошедших через линзу. Они получаются в собирающей линзе;

2. Мнимые – изображения, образуемые расходящимися пучками, лучи которых на самом деле не пересекаются между собой, а пересекаются их продолжения, проведенные в обратном направлении.

Собирающая линза может создавать как действительное, так и мнимое изображение.

Рассеивающая линза создает только мнимое изображение.

Собирающая линза

Чтобы построить изображение предмета, нужно пустить два луча. Первый луч проходит из верхней точки предмета параллельно главной оптической оси. На линзе луч преломляется и проходит через точку фокуса. Второй луч необходимо направить из верхней точки предмета через оптический центр линзы, он пройдет, не преломившись. На пересечении двух лучей ставим точку А’. Это и будет изображение верхней точки предмета.

В результате построения получается уменьшенное, перевернутое, действительное изображение (см. Рис. 1).

Рис. 1. Если предмет располагается за двойным фокусом

Для построения необходимо использовать два луча. Первый луч проходит из верхней точки предмета параллельно главной оптической оси. На линзе луч преломляется и проходит через точку фокуса. Второй луч необходимо направить из верхней точки предмета через оптический центр линзы, он пройдет через линзу, не преломившись. На пересечении двух лучей ставим точку А’. Это и будет изображение верхней точки предмета.

Точно так же строится изображение нижней точки предмета.

В результате построения получается изображение, высота которого совпадает с высотой предмета. Изображение является перевернутым и действительным (Рис. 2).

Рис. 2. Если предмет располагается в точке двойного фокуса

Для построения необходимо использовать два луча. Первый луч проходит из верхней точки предмета параллельно главной оптической оси. На линзе луч преломляется и проходит через точку фокуса. Второй луч необходимо направить из верхней точки предмета через оптический центр линзы. Через линзу он проходит, не преломившись. На пересечении двух лучей ставим точку А’. Это и будет изображение верхней точки предмета.

Точно так же строится изображение нижней точки предмета.

В результате построения получается увеличенное, перевернутое, действительное изображение (см. Рис. 3).

Рис. 3. Если предмет располагается в пространстве между фокусом и двойным фокусом

Так устроен проекционный аппарат. Кадр киноленты располагается вблизи фокуса, тем самым получается большое увеличение.

Вывод: по мере приближения предмета к линзе изменяется размер изображения.

Когда предмет располагается далеко от линзы – изображение уменьшенное. При приближении предмета изображение увеличивается. Максимальным изображение будет тогда, когда предмет находится вблизи фокуса линзы.

Предмет не создаст никакого изображения (изображение на бесконечности). Так как лучи, попадая на линзу, преломляются и идут параллельно друг другу (см. Рис. 4).

Рис. 4. Если предмет находится в фокальной плоскости

5. Если предмет располагается между линзой и фокусом

Для построения необходимо использовать два луча. Первый луч проходит из верхней точки предмета параллельно главной оптической оси. На линзе луч преломится и пройдет через точку фокуса. Проходя через линзу, лучи расходятся. Поэтому изображение будет сформировано с той же стороны, что и сам предмет, на пересечении не самих линий, а их продолжений.

В результате построения получается увеличенное, прямое, мнимое изображение (см. Рис. 5).

Рис. 5. Если предмет располагается между линзой и фокусом

Таким образом устроен микроскоп.

Вывод(см. Рис. 6):

Рис. 6. Вывод

На основе таблицы можно построить графики зависимости изображения от расположения предмета (см. Рис. 7).

Рис. 7. График зависимости изображения от расположения предмета

График увеличения (см. Рис. 8).

Рис. 8. График увеличения

Построение изображения светящейся точки, которая располагается на главной оптической оси.

Чтобы построить изображение точки, нужно взять луч и направить его произвольно на линзу. Построить побочную оптическую ось параллельно лучу, проходящую через оптический центр. В том месте, где произойдет пересечение фокальной плоскости и побочной оптической оси, и будет второй фокус. В эту точку пойдет преломленный луч после линзы. На пересечении луча с главной оптической осью получается изображение светящейся точки (см. Рис. 9).

Рис. 9. График изображения светящейся тчки

Рассеивающая линза

Предмет располагается перед рассеивающей линзой.

Для построения необходимо использовать два луча. Первый луч проходит из верхней точки предмета параллельно главной оптической оси. На линзе луч преломляется таким образом, что продолжение этого луча пойдет в фокус. А второй луч, который проходит через оптический центр, пересекает продолжение первого луча в точке А’, – это и будет изображение верхней точки предмета.

Таким же образом строится изображение нижней точки предмета.

В результате получается прямое, уменьшенное, мнимое изображение (см. Рис. 10).

Рис. 10. График рассеивающей линзы

При перемещении предмета относительно рассеивающей линзы всегда получается прямое, уменьшенное, мнимое изображение.

Взгляните ещё раз на рисунки линз из предыдущего листка: эти линзы обладают заметной толщиной и существенной кривизной своих сферических границ. Мы намеренно рисовали такие линзы чтобы основные закономерности хода световых лучей проявились как можно более чётко.

4.5.1 Понятие тонкой линзы

Теперь, когда эти закономерности достаточно ясны, мы рассмотрим очень полезную идеализацию, которая называется тонкой линзой. В качестве примера на рис. 4.24 приведена двояковыпуклая линза; точки O1 и O2 являются центрами её сферических поверхностей6 , R1 и R2 радиусы кривизны этих поверхностей.

Рис. 4.24. К определению тонкой линзы

Так вот, линза считается тонкой, если её толщина MN очень мала. Нужно, правда, уточнить: мала по сравнению с чем?

Во-первых, предполагается, что MN R1 и MN R2 . Тогда поверхности линзы хоть и будут выпуклыми, но могут восприниматься как ¾почти плоские¿. Этот факт нам очень скоро пригодится.

Во-вторых, MN a, где a характерное расстояние от линзы до интересующего нас предмета. Собственно, лишь в таком случае мы и сможем корректно говорить о ¾расстоянии от предмета до линзы¿, не уточняя, до какой именно точки линзы берётся это самое расстояние.

Мы дали определение тонкой линзы, имея в виду двояковыпуклую линзу на рис. 4.24 . Это определение без каких-либо изменений переносится на все остальные виды линз. Итак: линза является тонкой, если толщина линзы много меньше радиусов кривизны её сферических границ и расстояния от линзы до предмета.

Условное обозначение тонкой собирающей линзы показано на рис. 4.25 .

Рис. 4.25. Обозначение тонкой собирающей линзы

6 Напомним, что прямая O1 O2 называется главной оптической осью линзы.

Условное обозначение тонкой рассеивающей линзы показано на рис. 4.26 .

Рис. 4.26. Обозначение тонкой рассеивающей линзы

В каждом случае прямая F F это главная оптическая ось линзы, а сами точки F её фокусы. Оба фокуса тонкой линзы расположены симметрично относительно линзы.

4.5.2 Оптический центр и фокальная плоскость

Точки M и N, обозначенные на рис. 4.24 , у тонкой линзы фактически сливаются в одну точку. Это точка O на рис.4.25 и4.26 , называемая оптическим центром линзы. Оптический центр находится на пересечении линзы с её главной оптической осью.

Расстояние OF от оптического центра до фокуса называется фокусным расстоянием линзы. Мы будем обозначать фокусное расстояние буквой f. Величина D, обратная фокусному расстоянию, есть оптическая сила линзы:

D = f 1 :

Оптическая сила измеряется в диоптриях (дптр). Так, если фокусное расстояние линзы равно 25 см, то её оптическая сила:

D = 0; 1 25 = 4 дптр:

Продолжаем знакомиться с новыми понятиями. Всякая прямая, проходящая через оптический центр линзы и отличная от главной оптической оси, называется побочной оптической осью. На рис. 4.27 изображена побочная оптическая ось прямая OP .

P (побочный фокус)

(фокальная плоскость)

Рис. 4.27. Побочная оптическая ось, фокальная плоскость и побочный фокус

Плоскость, проходящая через фокус перпендикулярно главной оптической оси, называется фокальной плоскостью. Фокальная плоскость, таким образом, параллельна плоскости линзы. Имея два фокуса, линза соответственно имеет и две фокальных плоскости, расположенных симметрично относительно линзы.

Точка P , в которой побочная оптическая ось пересекает фокальную плоскость, называется побочным фокусом. Собственно, каждая точка фокальной плоскости (кроме F) есть побочный фокус мы ведь всегда сможем провести побочную оптическую ось, соединив данную точку с оптическим центром линзы. А сама точка F фокус линзы в связи с этим называется ещё

главным фокусом.

То, что на рис. 4.27 изображена собирающая линза, никакой роли не играет. Понятия побочной оптической оси, фокальной плоскости и побочного фокуса совершенно аналогично определяются и для рассеивающей линзы с заменой на рис.4.27 собирающей линзы на рассеивающую.

Теперь мы переходим к рассмотрению хода лучей в тонких линзах. Мы будем предполагать, что лучи являются параксиальными, то есть образуют достаточно малые углы с главной оптической осью. Если параксиальные лучи исходят из одной точки, то после прохождения линзы преломлённые лучи или их продолжения также пересекаются в одной точке. Поэтому изображения предметов, даваемые линзой, в параксиальных лучах получаются весьма чёткими.

4.5.3 Ход луча через оптический центр

Объяснить это можно следующим образом. Вблизи оптического центра O обе поверхности линзы неотличимы от параллельных плоскостей, и луч в данном случае идёт как будто через плоскопараллельную стеклянную пластинку (рис. 4.28 ).

Рис. 4.28. Ход луча через оптический центр линзы

Угол преломления луча AB равен углу падения преломлённого луча BC на вторую поверхность. Поэтому второй преломлённый луч CD выходит из плоскопараллельной пластинки параллельно падающему лучу AB. Плоскопараллельная пластинка лишь смещает луч, не изменяя его направления, и это смещение тем меньше, чем меньше толщина пластинки.

Но для тонкой линзы мы можем считать, что эта толщина равна нулю. Тогда точки B, O и C фактически сольются в одну точку, и луч CD окажется просто продолжением луча AB. Вот поэтому и получается, что луч, идущий вдоль побочной оптической оси, не преломляется тонкой линзой (рис. 4.29 ).

Рис. 4.29. Луч, идущий через оптический центр тонкой линзы, не преломляется

4.5.4 Ход лучей в собирающей линзе

Как мы помним, собирающая линза называется так потому, что световой пучок, параллельный главной оптической оси, после прохождения линзы собирается в её главном фокусе (рис. 4.30 ).

Рис. 4.31. Преломление пучка, идущего из главного фокуса

Оказывается, что пучок параллельных лучей, падающих на собирающую линзу наклонно, тоже соберётся в фокусе но в побочном. Этот побочный фокус P отвечает тому лучу, который проходит через оптический центр линзы и не преломляется (рис. 4.32 ).

Рис. 4.32. Параллельный пучок собирается в побочном фокусе

Теперь мы можем сформулировать правила хода лучей в собирающей линзе. Эти правила вытекают из рисунков 4.29 –4.32 .

1. Луч, идущий через оптический центр линзы, не преломляется.